Retém a instrução e não a largues. guarda-a, porque ela é a tua vida. (Pv. 4:13)

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4 de maio de 2011

9º ANO 8ª SÉRIE

 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
Os gráficos constituem uma forma clara e objetiva na apresentação de dados estatísticos,
a intenção é de proporcionar aos leitores em geral a compreensão e veracidade dos fatos.
De acordo com a característica da informação precisamos escolher o gráfico correto,
os mais usuais são: gráfico de segmentos, gráfico de barras e gráfico de setores.


Gráfico de Segmento ou gráfico de linhas

Objetivos: simplicidade, clareza e veracidade.


Uma locadora de filmes em DVD registrou o número de locações no 1º semestre do ano de 2008.
Os dados foram expressos em um gráfico de segmentos.
Gráfico de Barras horizontal e vertical

Objetivo: representar os dados através de retângulos, com o intuito de analisar as
projeções no período determinado.

O exemplo abaixo mostra o consumo de energia elétrica no decorrer do ano de
2005 de uma família.



Gráfico de setores

Objetivos: expressar as informações em uma circunferência fracionada. É um gráfico
muito usado na demonstração de dados percentuais.

O gráfico a seguir mostrará a preferência dos clientes de uma locadora quanto ao gênero
  dos filmes locados durante a semana.







OPERAÇÕES COM RADICAIS

14.0 - Adição e Subtração de Radicais
15.0 - Multiplicação de Radicais
16.0 - Divisão de Radicais
17.0 - Potenciação de Radicais
18.0 - Radiciação de Radicais
19.0 - Frações Irracionais
20.0 - Racionalização de Denominadores Irracionais.
20.1 - O denominador é um radical quadrático.
20.2 - O denominador é um radical de índice maior que dois.
20.3 - O denominador é uma expressão irracional contendo pelo menos um radical quadrático.
21.0 - Exercícios Resolvidos - Parte II

 
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

ax² + bx + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0
2) 3 x² + x + 2 = 0

o coeficiente a é diferente de zero.
Exemplos:
1) 4 x² + 6x = 0
2) 3 x² + 9 = 0
3) 2 x² = 0

Resolução de equações completas do 2° grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde Δ=b²-4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:

1) Δ <> 0, há duas soluções reais e diferentes

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1) Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.
3) Calcular Δ=(-5)²-4×1×6=25-24=1
4) Escrever a fórmula de Bhaskara:













EXERCÍCIOS

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio)
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)
e) 5x² - 3x - 2 = 0
f) x² - 10x + 25 = 0
g) x² - x - 20 = 0
h) x² - 3x -4 = 0
i) x² - 8x + 7 = 0



RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU


1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)
2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4)
4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,)
6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4)
8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2)
10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2)
12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4)
14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio)
16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5)
18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3)
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3)
22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8)
24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4)
26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio)
28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5)
30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4)
32) ( x - 5)² = 1_______(R:3,7)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2)
34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)

35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1
b)-1 e 1
c)-2 e 2 (x)
d)-3 e 3
e)0 e 4

36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)
37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio)
38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)




PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU



1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.
(R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R:7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número?
(R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)



RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS



Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau

1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:

1) x² - 25 = 0
x² = 25
x = √25
x = 5
logo V= (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0
2x² = 18
x² = 18/2
x² = 9
x = √9
x = 3
logo V= (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0
7x² = 14
x² = 14/7
x² = 2
x = √2
logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0
x² = -25
x = √-25
obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7)
b) x² = 1 (R: +1 e -1)
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5)
d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3)
f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)
g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio)
h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7)
j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)
k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2)
l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3)
n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)

2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.


EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7)
b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4)
d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3)
f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)
h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)
j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)
l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3)
b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5)
d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)
f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS

Conceito: Uma fração é fracionária quando apresenta variável no denominador.

Exemplos :
a) 5/2x – 8 = 7/x
b) 4x / (x -2) + 5/(x-1) = 6


CONJUNTO UNIVERSO DE UMA EQUAÇÃO FRACIONÁRIA

O denominador nunca pode ser zero.
O conjunto universo de uma equação fracionária não deve conter os valores que anulem o denominador.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS

As equações fracionárias são resolvidas do mesmo modo que se resolvem as equações que apresentam denominadores numéricos.

EXERCÍCIOS


1) Resolva as equações fracionárias

a) 2/x + 1 = 4/x
b) 8 – 5/x = 3/x
c) 10/x – 3 = 5/2
d) 1/x + 1/2 = 5/x
e) 1/x + 3/4 = 5/2x
f) 7/2x + 3 = 8/x
g) (x -2) / x = 2/7
h) (3x – 1)/ x = 5/3
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EXERCÍCIOS

1) Resolva as equações fracionárias
a) 6/ (x + 2) = 3/ (x -8)
b) (x – 1 ) / (x – 2) = (x + 1) / ( x – 1)
c) 12/ (x +3) = 8/ (x -3)
d) X / (x -2) + x / (x + 1) = 2
e) 4/ (x -5) = 2/(2x -3)
f) (x +3)/x = (x +9) / (x + 4)
g) 6/(x +2) = 3/x – 9/x
h) X / (x -1) + 1 (x -1) = 5/3
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EXERCÍCIOS

1) Resolva as equações fracionarias

a) 2/(x -1) + 1 / (x² -1)= 0
b) x/(x + 3) – 1 = 5 / (x² - 9)
c) 1/ (x -2) + 1/(x+2) = 4/ (x² -4)
d) 2/(x -1) + 3 (x +1) = 4 / (x² - 4)
e) 3/ ( x + 1) – 4/ 3(x -1) = 4/ (x² - 1)

2) Resolva as equações fracionárias

a) 3/x + 4/9 = 5/12
b) 3/x – 1 = 3/2
c) 2 + 1/x = 7/x
d) 9/x + 6/x = 3
e) 8 – 3/x = 1/x
f) 3/x + ¼ = 2/x
g) 1/2x + 3/8 = 2/x
h) (x +1)/ 3x + 1/x = 2/3
i) 3/4x – 3/5x + 1/10 = 0
j) (4x + 5) / 8x – ¾ = (1 –x) / 2x
k) (x -3) / (x + 3) = 3/5
l) 3x / (x – 4) -2/x = 3
m) (x + 7) / (x + 5) – 12/(x -5) = 1











SISTEMAS SIMPLES DO 2° GRAU

Vamos resolver sistemas que possuem uma equação do 1° grau e outra do 2° grau polo método da substituição .

Exemplo

a)x - y = 1
__x . y = 6

Isolando x na equação x - y = 1, temos x = 1 + y
substituindo esse valor de x em x . y = 6 , obtemos,
(1+ y) . y = 6
y + y² = 6
y² + y - 6 = 0

resolvendo essa equação do 2° grau temos:

solução ( 2 e -3)

b) x + y = 7
___x². y² = 25

Isolando x na equação x + y = 7, temos x = 7 - y
substituindo esse valor de x em x². y² = 25, obtemos

(7 - y)² + y² = 25
49 - 14y + y² + y² = 25
2y² - 14y + 49 - 25 = 0
2y² - 14y + 24 = 0

resolvendo essa equação do 2° grau temos:

solução [(3 e 4) e (4 e 3)]

Exercícios


1)   x + y = 7______ (R:2,5 ou 5,2)
      x . y = 10

2)x + y = 5______ (R:2,3 ou 3,2)
__x . y = 6

3)  x - y = 9______ (R:2,-7 ou -7,2)
    x . y = -14

4)  x - y = 3______ (R:6,3 ou -3,-6)
    
x²+ y² = 45

5)  x - y = 1______ (R: 4,3 ou -3,-4)
    x²+ y² = 25

b) x -  y = 0______ (R: 2,2 ou -2,-2)
   5x²- y² = 16

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