Retém a instrução e não a largues. guarda-a, porque ela é a tua vida. (Pv. 4:13)

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9 de maio de 2011

NÚMEROS BINOMIAIS

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª)
Se n, p, k   e p + k = n então 
   Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.
   Exemplos:

2ª)
Se n, p, k   e p  p-1  0 então 
   Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).
   Exemplos:

Triângulo de Pascal
    A  disposição  ordenada  dos números   binomiais,   como  na tabela ao lado, recebe  o  nome   deTriângulo de Pascal
    Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
    Por exemplo, os números binomiais  ,  e  estão na linha 3 e os números binomiais , ..., , ... estão na coluna 1.
    Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

1. O valor de é:
  1. 21
  2. 30
  3. 35 X
  4. 40
  5. 56
2. A soma dos número binomiais é igual a :
  1.  X
3. EESCU - SP ) A igualdade , é verificada para :
  1. n = 50 ! ) ( 40 ! )
  2. n= 50 ! /40 !
  3. n = 2 000
  4. n = 90 X
  5. 20
4. PUC - SP ) Os valores de m., para os quais , são:
  1. m = 1 , m = 2
  2. m = 3 , m = 4
  3. m = 2 , m = 5 X
  4. m = 3 , m = 2
  5. m = 1 , m = 4
5. CEFET - PR ) Os valores de x na equação , cujos coeficientes binomiais são iguais, é ( são ) :
  1. 2 ou 3 X
  2. 1 ou 0
  3. 0 ou 3
  4. 2 ou 0
  5. 4
6. UFCE ) A soma das soluções da equação , é:
  1. 8
  2. 5 X
  3. 6
  4. 7
  5. 9
7. UM - SP ) Considere a seqüência de afirmações :
I . 
II. 
III. , implica x = 2
Associando-se V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem - se:
  1. F, F, V
  2. F, V, V
  3. F, V, F X
  4. F, F, F
  5. V, V, V
8. PUC - PR ) Um colecionador possui determinado número de selos raros e diferentes entre si. Agrupando-os 4 a 4, obteve o mesmo número de grupos que se os juntasse 6 a 6. quantos, pois são os selos raros que o colecionador possuía ?
  1. 10 X
  2. 16
  3. 36
  4. 20
  5. 45
9. MACK - SP ) Os números binomiais são complementares, k N e k > 3. Então k vale:
  1. 6 X
  2. 15
  3. 8
  4. 5
  5. 10
10. CEFET - PR ) é o mesmo que :
  1. n
  2. n2 + n - 1
  3. 2n
  4. 2 n + 1 X
  5. 2n + 2
11. MED. STA. CASA - SP ) A equação 
  1. não admite solução
  2. admite uma solução entre 1 e 5
  3. admite uma solução entre 5 e 12 X
  4. admite uma solução entre 12 e 20
  5. admite uma solução maior que 20
12. PUC - SP ) Se , então é igual a:
  1. 40
  2. 45 X
  3. 50
  4. 55
  5. 60



Binômio de Newton

Introdução

    Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
    Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)
= a4 + 4a3b + 6a2b+ 4ab3 + b4

    De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência  a partir da anterior, ou seja, de .
    Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
    Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido comobinômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais
    Sendo e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classep, do número n, o número , que indicamos por  (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:
    O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:
      É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
   Exemplos:





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